Budapesti művészcsalád sarja. Édesapja festőművész, gyógyszerész édesanyja színésznői álmokat dédelgetett, bátyja szobrászművész, öccse szintén színész lett. Mivel a József Attila Színház közelében laktak, gyermekkorában a művészbejárónál kért autogramot a távozó színészektől, próbálta ellesni a színészi átváltozás lényegét. Érettségi után rögtön felvették a Színház- és Filmművészeti Főiskolára, Várkonyi Zoltán osztályába. Már harmadévesként fellépett Vészi Endre Üvegcsapda című darabjában a Nemzeti Színházban, ahova 1970-ben friss diplomásként szerződött. A társulatban olyan színészek mellett léphetett kisebb szerepekben a színpadra, mint Sinkovits Imre, Kállai Ferenc, Agárdy Gábor, Bessenyei Ferenc és Őze Lajos. 1973-ban a Miskolci Nemzeti Színházba hívták a Csongor és Tünde címszerepére, majd Illyés Gyula Testvérek című drámájában Dózsa Gergelyt játszhatta.

1974-ben át is szerződött a miskolci társulathoz, ahol már komoly szerepeket alakíthatott. 1978-tól egy évadot Kecskeméten játszott, itt volt az egyetlen alkalom, hogy öccsével együtt lépett színpadra: a La Mancha lovagjában ő volt Don Quijote, Balázs pedig Sancho Panza. Miskolcra visszatérve főszerepek sora várta, 1980-ban A tribádok éjszakája magyarországi ősbemutatóján August Strindberget, majd a Tartuffe, a Peer Gynt és a Galilei élete címszerepeit alakította. 1987-ben a Katona József Színház tagja lett. A társulattal beutazta a világot, A revizor Polgármestereként, a Három nővér Fedotyik alhadnagyaként, a Platonov Vojnyicevjeként, illetve Shakespeare Vízkereszt, vagy amit akartok című művében Malvolióként aratott sikert itthon és külföldön.

Latinovits Zoltán, Blaskó Péter és Iglódi István A magyar ugaron című filmben (rendezte: Kovács András, 1972, MTI Fotó/Tóth István Csaba)

1994-ben szabadúszó lett, játszott a Radnóti Színházban, a Merlin Színházban, a József Attila Színházban, a Kolibriben és a Gyulai Várszínházban is, 1995-ben a Thália Színház művésze lett. 1998-ban a veszprémi Petőfi Színházban bemutatott Kegyelem című drámában Kádár János szerepét formálta meg, a nagy sikernek köszönhetően a darab ugyanabban az évben a Pesti Színházban is színre került. 2001-ben egy évadra a Vígszínházhoz szerződött, szerepelt a Macska a forró tetőn, a Tóték és a Nyaralók előadásában. 2002-ben a Nemzeti Színház mellett kötelezte el magát, amelynek mai napig tagja. Változatos szerepekben próbálhatta ki magát: Petur bán a Bánk bánban, Solmay Ignác a Buborékokban, Woland A Mester és Margaritában, Gomböntő a Peer Gyntben.

Eljátszhatta a Lear király címszerepét, Harpagont A fösvényben és Szent Domonkost a Johanna a máglyán előadásában. Határozott karakterű, nyugalmat, erőt sugárzó, robusztus egyénisége érzékeny, az értelem kontrollját sosem nélkülöző játékintelligenciával párosul. Több olyan darab volt pályája során, amelynek ellentétes karaktereit formálta meg: Miskolcon Tartuffe volt, majd tizenhat év múlva a Tháliában Orgon; Örkény Tóték című drámájában az Őrnagyot, később Tót Lajos tűzoltóparancsnokot, A Mester és Margaritában a Mestert és Wolandot is megformálta. Az Alföldi Róbert rendezésében 2011-ben bemutatott Az ember tragédiája című előadásban Úrként az események sorát ugyanúgy a színpadon követte végig, mint Luciferként huszonhét évvel korábban Miskolcon.

Blaskó Péter 2017-ben (MTI Fotó/Czimbal Gyula)

Számos filmben is kamera elé állt. 1968-ban még főiskolásként szerepelt a Várkonyi Zoltán rendezte Egri csillagokban, a következő évben a Halálnak halála című tévéjátékban. Ezt követte 1970-ben a Szép leányok, ne sírjatok! és a Staféta. Főszerepet alakított a Valahol Magyarországon és a Hét akasztott című drámákban, feltűnt Koltai Róbert legendás Sose halunk meg című játékfilmjében, az Öregberény és a Kisváros című sorozatokban. A Hídemberben Széchényi Ferencet keltette életre, szerepelt a Taxidermia és a Mansfeld című filmekben, a Tűzvonalban és a Hacktion: Újratöltve című tévésorozatokban, legutóbbi tévés szerepe a Janus című filmdrámában volt, 2015-ben. 

Művészi teljesítményét 1981-ben Jászai Mari-díjjal, 1986-ban érdemes művész címmel jutalmazták. 2001-ben Kazinczy-díjat, 2004-ben Gábor Miklós-díjat, 2005-ben Farkas-Ratkó-díjat és fővárosi színházi díjat vehetett át. 2006-ban elnyerte a Vidor Fesztivál Dottore-díját, 2007-ben az Amfiteátrum-díjat. 2008-ban „több évtizedes művészi pályája során drámai, vígjáték- és filmszerepekben nyújtott hiteles, karakteres színészi alakításaiért” Kossuth-díjjal tüntették ki, de Gyurcsány Ferenc akkori miniszterelnök elleni tiltakozása jeléül nem fogadta el az elismerést, a Kossuth-díjat 2011-ben vette át. 2012-ben a Magyar Művészeti Akadémia (MMA) rendes tagja lett, az I. kerület díszpolgári címmel tüntette ki, és megkapta a Gyulai Várszínház Sík Ferenc-díját. 2014-ben Nemzet Művésze címmel, 2017-ben Prima Díjjal tüntették ki.